Задача 4.4.1. В конкурсе «А ну-ка, парни!» в финал вышли четыре мальчика: Никита, Руслан, Сергей и Толя. Девочки решили поделиться своими предположениями об итоговом распределении мест:
Оля: Сережа точно будет вторым, а Толик – четвертым.
Аня: Уверена, что Никита будет первым, а вторым – Руслан.
Кристина: Ерунда. Это Никита будет вторым, а Толик – третьим.
Когда подвели итоги, оказалось, что каждая девочка была права только в одном из своих прогнозов. Какое место заняли Никита, Руслан, Сергей и Толя? В ответе перечислите подряд без пробелов места мальчиков в указанном порядке имен.
Чтобы меньше времени тратить на перебор возможных вариантов, запишите исходные данные в табличном виде.
Запишем исходные данные в табличном виде:
|
|
Никита
|
Руслан
|
Сергей
|
Толя
|
|
Оля
|
|
|
2
|
4
|
|
Аня
|
1
|
2
|
|
|
|
Кристина
|
2
|
|
|
3
|
Теоретически мы можем взять любое число из таблицы за правильное и далее вычеркивать неверные предположения. Но тогда получится большой перебор. Ограничим его. Поскольку предположение о втором месте сделано многими девочками, то второе место не будем рассматривать как старт рассуждений. Предположения о 1,3,4 местах были сделаны по одному разу, но 3 конфликтует с 4. Поэтому предположим, что прогноз о первом месте Никиты верный.
|
|
Никита
|
Руслан
|
Сергей
|
Толя
|
|
Оля
|
|
|
2
|
4
|
|
Аня
|
1
|
2
|
|
|
|
Кристина
|
2
|
|
|
3
|
Вычеркнем конфликтующие с ним утверждения:
|
|
Никита
|
Руслан
|
Сергей
|
Толя
|
|
Оля
|
|
|
2
|
4
|
|
Аня
|
1
|
2
|
|
|
|
Кристина
|
2
|
|
|
3
|
Так как Кристина неправа в прогнозе о Никите, она права в прогнозе о Толе:
|
|
Никита
|
Руслан
|
Сергей
|
Толя
|
|
Оля
|
|
|
2
|
4
|
|
Аня
|
1
|
2
|
|
|
|
Кристина
|
2
|
|
|
3
|
Но тогда Оля неправа в прогнозе о Толе:
|
|
Никита
|
Руслан
|
Сергей
|
Толя
|
|
Оля
|
|
|
2
|
4
|
|
Аня
|
1
|
2
|
|
|
|
Кристина
|
2
|
|
|
3
|
Значит, Оля права в прогнозе о Сергее:
|
|
Никита
|
Руслан
|
Сергей
|
Толя
|
|
Оля
|
|
|
2
|
4
|
|
Аня
|
1
|
2
|
|
|
|
Кристина
|
2
|
|
|
3
|
Получается, что никто из девочек не сделал верного предположения о Руслане. Для него остается 4 место:
|
|
Никита
|
Руслан
|
Сергей
|
Толя
|
|
Оля
|
|
|
2
|
4
|
|
Аня
|
1
|
2
|
|
|
|
Кристина
|
2
|
|
|
3
|
|
|
|
4
|
|
|
Итак, мы получили непротиворечивую таблицу. Если бы это не удалось, надо было бы сделать другое исходное предположение.
Ответ: 1423
Задача 4.4.2. Витя, Коля, Павлик и Сережа учатся в 5, 6, 7 и 8 классах. В воскресенье они отправились в лес за грибами. Шестикласснику не повезло – он не нашел ни одного белого гриба, а Павлик с пятиклассником нашли по десять таких грибов. Витя и семиклассник нашли ежа и позвали Колю показать, какой «гриб» им попался. Восьмиклассник, шестиклассник и Коля объясняли Сереже, как ориентироваться на местности. В каком классе учатся мальчики? В качестве ответа запишите без пробелов номера классов в следующем порядке мальчиков: «Витя, Коля, Павлик и Сережа».
Составьте таблицу, как в предыдущей задаче, анализируйте утверждения и вычеркивайте неподходящие варианты.
Составим таблицу:
|
|
Витя
|
Коля
|
Павлик
|
Сережа
|
|
5 класс
|
|
|
|
|
|
6 класс
|
|
|
|
|
|
7 класс
|
|
|
|
|
|
8 класс
|
|
|
|
|
Проанализируем высказывание: «Шестикласснику не повезло – он не нашел ни одного белого гриба, а Павлик с пятиклассником нашли по десять таких грибов». Это означает, что Павлик не шестиклассник и не пятиклассник:
|
|
Витя
|
Коля
|
Павлик
|
Сережа
|
|
5 класс
|
|
|
X
|
|
|
6 класс
|
|
|
X
|
|
|
7 класс
|
|
|
|
|
|
8 класс
|
|
|
|
|
Проанализируем высказывание «Витя и семиклассник нашли ежа и позвали Колю показать, какой «гриб» им попался». Витя не семиклассник, Коля тоже не семиклассник:
|
|
Витя
|
Коля
|
Павлик
|
Сережа
|
|
5 класс
|
|
|
X
|
|
|
6 класс
|
|
|
X
|
|
|
7 класс
|
X
|
X
|
|
|
|
8 класс
|
|
|
|
|
Проанализируем высказывание «Восьмиклассник, шестиклассник и Коля объясняли Сереже, как ориентироваться на местности». Коля не восьмиклассник и не шестиклассник, Сережа тоже не восьмиклассник и не шестиклассник:
|
|
Витя
|
Коля
|
Павлик
|
Сережа
|
|
5 класс
|
|
|
X
|
|
|
6 класс
|
|
X
|
X
|
X
|
|
7 класс
|
X
|
X
|
|
|
|
8 класс
|
|
X
|
|
X
|
Методом исключения получается, что Коля – пятиклассник, а шестиклассник – это Витя:
|
|
Витя
|
Коля
|
Павлик
|
Сережа
|
|
5 класс
|
|
V
|
X
|
|
|
6 класс
|
V
|
X
|
X
|
X
|
|
7 класс
|
X
|
X
|
|
|
|
8 класс
|
|
X
|
|
X
|
Поскольку в задаче четыре мальчика и четыре класса, то в одном и том же классе учится только один мальчик. Поскольку мы уже поняли, кто является пятиклассником и шестиклассником, то больше пятиклассников и шестиклассников нет:
|
|
Витя
|
Коля
|
Павлик
|
Сережа
|
|
5 класс
|
X
|
V
|
X
|
X
|
|
6 класс
|
V
|
X
|
X
|
X
|
|
7 класс
|
X
|
X
|
|
|
|
8 класс
|
X
|
X
|
|
X
|
Теперь мы определили троих, кто не является восьмиклассником, следовательно, восьмиклассником является Павлик:
|
|
Витя
|
Коля
|
Павлик
|
Сережа
|
|
5 класс
|
X
|
V
|
X
|
X
|
|
6 класс
|
V
|
X
|
X
|
X
|
|
7 класс
|
X
|
X
|
|
|
|
8 класс
|
X
|
X
|
V
|
X
|
Но тогда Павлик не является семиклассником:
|
|
Витя
|
Коля
|
Павлик
|
Сережа
|
|
5 класс
|
X
|
V
|
X
|
X
|
|
6 класс
|
V
|
X
|
X
|
X
|
|
7 класс
|
X
|
X
|
X
|
|
|
8 класс
|
X
|
X
|
V
|
X
|
Следовательно, семиклассником является Сережа:
|
|
Витя
|
Коля
|
Павлик
|
Сережа
|
|
5 класс
|
X
|
V
|
X
|
X
|
|
6 класс
|
V
|
X
|
X
|
X
|
|
7 класс
|
X
|
X
|
X
|
V
|
|
8 класс
|
X
|
X
|
V
|
X
|
Ответ: 6587
Задача 4.4.3. Три свидетеля дорожного происшествия сообщили сведения о скрывшемся нарушителе. Боб утверждает, что тот был на красном «Рено», Джон сказал, что нарушитель уехал на синей «Тойоте», а Сэм показал, что машина была точно не красная, и, по всей видимости, это был «Форд».
Когда удалось отыскать машину, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил только один из параметров автомобиля, а в другом ошибся. Какая и какого цвета была машина у нарушителя?
Ответ записать в виде двух слов, разделенных пробелом: МАРКА, ЦВЕТ.
Решите эту задачу не с помощью таблицы, а составив логическое высказывание.
Поскольку каждый из свидетелей был прав только в одном из утверждений, то, чтобы высказывание свидетеля было истинным, нам нужно соединить его высказывания с помощью логического «или»:
Боб = красный ∨ Рено,
Джон = синий ∨ Тойота,
Сэм = ⌐красный ∨ Форд.
Поскольку каждое утверждение свидетелей истинно, то соединим эти утверждения с помощью логического «и»:
Боб ∧ Джон ∧ Сэм = (красный ∨ Рено) ∧ (синий ∨ Тойота) ∧ (⌐красный ∨ Форд)
Подобно дистрибутивному закону в математике (a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd
В логике также есть аналогичный закон: (a ∨ b) ∧ (c ∨ d) = a ∧ c ∨ a ∧ d ∨ b ∧ c ∨ b ∧ d
Раскроем первые две скобки:
((красный ∧ синий) ∨ (красный ∧ Тойота) ∨ (Рено ∧ синий) ∨ (Тойота ∧ Рено)) ∧ (⌐красный ∨ Форд)
При раскрытии скобок у нас получились ложные высказывания:
красный ∧ синий = 0
(машина не может быть одновременно красной и синей)
и
Тойота ∧ Рено = 0
(машина не может быть одновременно Тойотой и Рено).
По свойству логического «или»
0 ∨ А = А,
Поэтому от правой скобки остается:
( (красный ∧ Тойота) ∨ (Рено ∧ синий) ) ∧ (⌐красный ∨ Форд)
Продолжим раскрывать скобки:
(красный ∧ Тойота ∧ ⌐красный) ∨ (Рено ∧ синий ∧ ⌐красный ) ∨ (красный ∧ Тойота ∧ Форд) ∨ (Рено ∧ синий ∧ Форд)
Проанализируем «слагаемые»:
красный ∧ Тойота ∧ ⌐красный = 0
(машина не может быть одновременно красной и не красной)
Рено ∧ синий ⌐красный = 1
(нет противоречий между «множителями»)
красный ∧ Тойота ∧ Форд = 0
(машина не может быть одновременно Тойотой и Фордом)
Рено ∧ синий ∧ Форд = 0
(машина не может быть одновременно Рено и Фордом)
Рассматривая единственно верное утверждение, получаем синий Рено.
Ответ: Синий Рено.
