Образовательный портал Павла Добряка

Сложение осуществляется аналогично сложению в десятичной системе, но, поскольку цифр в пятеричной системе меньше, то перенос в старший разряд будет происходить в других случаях, чем в десятичной системе. Может понадобиться выписать таблицу соответствия десятичных и пятеричных чисел.

Целесообразно выписать начало таблицы с переводом из десятичной системы в пятеричную:

Десят.	Пятер.
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	10
6	11
7	12
8	13
9	14
10	20

 

Начнем складывать столбиком: 2+1 посчитать не составит труда. Это будет 3 хоть в десятичной системе, хоть в пятеричной:

+	2	3	4	2
	5	3	2	1
				3

В десятичной системе 4+2=6. Но сложение не меняет результата, то есть, если мы посмотрим в таблицу, то 6-десятичное равно 11-пятеричному. 1 пишем и 1 переносится в следующий разряд:

		1
+	2	3	4	2
	5	3	2	1
			1	3

Продолжаем вычисления. 1+3+3 в десятичном виде равно 7, то есть 12-пятеричному. 2 пишем, 1 переносится в следующий разряд:

	1	1
+	2	3	4	2
	5	3	2	1
		2	1	3

Продолжаем вычисления и получаем ответ:

	1	1
+	2	3	4	2
	5	3	2	1
1	3	2	1	3

2342₅ + 5321₅ = 13213₅

Ответ: 13213

Вычитание столбиком в альтернативных системах аналогично вычитанию в десятичной, так же приходится занимать в высших разрядах, если происходит вычитание из меньшей цифры большей. Как показывает опыт, в двоичной системе вычитать тяжелее всего.

Вычитание первых трех разрядов не представляет труда, так как 0–0=0, 1–0=1, 1–1=0:

	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0
-		1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0
												0	1	0

Далее нужно занимать. Так как

10₂ = 2₁₀

То 10₂ – 1₂ = 2₁₀ – 1₁₀ = 1₁₀ = 1₂

 

										*
	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0
-		1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0
										0	1	0	1	0

 

Мы уже знаем, что степень двойки в двоичном виде представляет собой 1 и несколько нулей в количестве показателя степени, а число на 1 меньшее, чем степень двойки – это число, состоящее из одних единиц. Поэтому продолжаем вычитать, занимая:

							*	*		*
	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0
-		1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0
							0	1	1	0	1	0	1	0

 

Далее несколько сложнее:

				*	*		*	*		*
	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0
-		1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0
					0	1	0	1	1	0	1	0	1	0

 

Поскольку 1 мы уже заняли, надо занимать дальше:

 

			*	*	*		*	*		*
	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0
-		1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0
			0	1	0	1	0	1	1	0	1	0	1	0

 

И заканчиваем вычисления:

	*		*	*	*		*	*		*
	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0
-		1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0
		1	0	1	0	1	0	1	1	0	1	0	1	0

 

Ответ: 1010101101010

В двоичной системе занимать в старших разрядах приходится значительно чаще, чем в других системах, и это может приводить к ошибкам. Поэтому есть «народный» способ, позволяющий уменьшить риск. Он заключается в том, что мы не обязаны делать вычитание за один раз. Можем делать его поэтапно. Возьмем сложный участок предыдущего примера:

101100–10111.

Распишем числа в виде сумм:

100000+1000+100–10000–100–10–1.

Мы можем сгруппировать, переставив слагаемые, сразу уберем 100–100:

100000-10000+1000–10–1.

Сделаем два вычитания:

10000+110–1.

Делаем последнее вычитание и получаем результат:

10000+101=10101.

Столбиком алгоритм вычисления выглядит так:

	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0
-		1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0

Сперва обнуляем все единицы, которые стоят друг под другом:

	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0
-		1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0
	1	0	1	0	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0
-		1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	0	0	0

 

Потом делим на секции, которые состоят из 1 и последовательности нулей в верхнем числе до 1 в нижнем:

	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0
-		1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0
	1	0	1	0	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0
-		1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	0	0	0

 

 

Делаем вычитания там, где мы это умеем:

	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0
-		1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0
	1	0	1	0	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0
-		1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	0	0	0
		1	0	1	1		0	1	1	0	1	0	1	0

 

И переписываем те разряды, которые мы еще не вычли:

	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0
-		1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0
	1	0	1	0	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0
-		1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	0	0	0
		1	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0
-						1

 

Повторяем алгоритм до тех пор, пока не останется разрядов для вычитания:

	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0
-		1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0
	1	0	1	0	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0
-		1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	0	0	0
		1	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0
-						1
		1	0	1	0	1	0	1	1	0	1	0	1	0

Ответ такой же.

Умножение в двоичной системе осуществляется так же, как и в десятичной.

Умножение в двоичном виде начинается проще, чем в десятичном. Нам достаточно переписать верхнее число несколько раз со сдвигом:

				1	1	1	0	1
			X	1	0	1	1	1
				1	1	1	0	1
			1	1	1	0	1
		1	1	1	0	1
1	1	1	0	1

 

Далее идет сложение. Поначалу оно не представляет труда. Переносы отмечены звездочками:

				1	1	1	0	1
			X	1	0	1	1	1
				1	1	1	0	1
			1	1	1	0	1
		1	1	1	0	1
1	1	1	0	1
				*	*
					1	0	1	1

Когда единиц становится слишком много, то возникают проблемы. Нужно запомнить принцип: если единиц вместе с перенесенными (как это было в четвертом с конца столбце) нечетное количество, то пишем 1, если четное – то 0. Если в столбце две единицы, то одна единица переносится в следующий разряд (как это происходит в третьем и четвертом столбце). В пятом столбце вместе с переносом уже пять единиц. 1+1+1+1=100, поэтому перенос происходит через разряд:

				1	1	1	0	1
			X	1	0	1	1	1
				1	1	1	0	1
			1	1	1	0	1
		1	1	1	0	1
1	1	1	0	1
		*		*	*
				1	1	0	1	1

Продолжаем складывать дальше:

				1	1	1	0	1
			X	1	0	1	1	1
				1	1	1	0	1
			1	1	1	0	1
		1	1	1	0	1
1	1	1	0	1
		**		*	*
			0	1	1	0	1	1

Как видно, в один и тот же разряд может быть несколько переносов.

				1	1	1	0	1
			X	1	0	1	1	1
				1	1	1	0	1
			1	1	1	0	1
		1	1	1	0	1
1	1	1	0	1
*		**		*	*
	1	0	0	1	1	0	1	1

 

И  заканчиваем:

					1	1	1	0	1
				X	1	0	1	1	1
					1	1	1	0	1
				1	1	1	0	1
			1	1	1	0	1
	1	1	1	0	1
*	*		**		*	*
1	0	1	0	0	1	1	0	1	1

 

Ответ: 1010011011

Будем вычислять столбиком:

8 3

+1 E

Вычислим в десятичном виде 4₁₆ + Е₁₆ = 4₁₀ + 14₁₀ = 18₁₀ = 12₁₆. 2 пишем, 1 переносится в следующий разряд:

1

8 4

+1 E

2

 

Продолжаем вычисление: 1₁₆ + 8₁₆ + 1₁₆ = 1₁₀ + 8₁₀ + 1₁₀ = 10₁₀ = А₁₆

1

8 3

+1 E

А 2

Ответ: A2

Вычислим столбиком:

2 А 8

- 1 С 6

8-6 вычисляется так же, как и в десятичном виде:

2 А 8

- 1 С 6

2

А₁₆ – С₁₆ = 10₁₆ – 12₁₆

Видно, что нужно занимать 1 из следующего разряда:  

*

2 А 8

- 1 С 6

2

1А₁₆ – С₁₆ = 16₁₀ + 10₁₀ – 12₁₀ = 14₁₀ = Е₁₆

*

2 А 8

- 1 С 6

0 E 2

Ответ: Е2

Начнем умножать столбиком. Так как в правом разряде второго множителя идет цифра 1, то при умножении на 1 первого числа мы получим первое же число. Перепишем его в третий ряд:

1	0	1	X
1	1	Y	1
1	0	1	X

Далее во втором числе идет цифра Y:

1*Y=Y,

0*Y=0,

X*Y=XY.

Продолжим умножение, заполняя со сдвигом четвертую строчку:

	1	0	1	X
	1	1	Y	1
	1	0	1	X
Y	0	Y	XY

 

Продолжаем формировать строчки далее:

			1	0	1	X
			1	1	Y	1
			1	0	1	X
		Y	0	Y	XY
	1	0	1	X
1	0	1	X

 

Далее запишем известный из условия задачи ответ:

				1	0	1	X
				1	1	Y	1
				1	0	1	X
			Y	0	Y	XY
		1	0	1	X
	1	0	1	X
1	0	0	0	Z	1	1	1

 

Сравнивая два левых бита, видим, что X=1. Заменим все вхождения X на 1:

				1	0	1	X
				1	1	Y	1
				1	0	1	1
			Y	0	Y	Y
		1	0	1	1
	1	0	1	1
1	0	0	0	Z	1	1	1

 

Из второго слева столбца видно: 1+Y=1, следовательно, Y=0. Можно заменить все вхождения Y на 0:

				1	0	1	X
				1	1	Y	1
				1	0	1	1
			0	0	0	0
		1	0	1	1
	1	0	1	1
1	0	0	0	Z	1	1	1

 

В четвертом столбце складываем в двоичном виде: 1+1+1=11. Левая единичка записывается в 4 разряде (то есть Z=1), а правая переходит в разряд слева. Для проверки продолжаем сложения (каждый раз 1 будет переноситься в следующий разряд) и убеждаемся, что ответ найден верно:

				1	0	1	X
				1	1	Y	1
			*	1	0	1	1
		*	0	0	0	0
	*	1	0	1	1
*	1	0	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1

 

 Итак, X=1, Y=0, Z=1.

Ответ. 101