Задача 1.1.1. Составьте таблицу десятичных чисел от 0 до 27 в восьмеричной системе счисления.
Прежде всего нужно понять, что все позиционные системы счисления устроены одинаково. Предварительная настройка при решении этих задач создается вопросом: «Как бы мы считали, если бы у нас на руках было не 10 пальцев, а, скажем, 8?»
Чтобы прочувствовать, что такое альтернативные системы счисления, перечислим по порядку десятичные числа от 0 до 27, а рядом напишем их соответствие в восьмеричной системе счисления:
| десят |
восьм |
| 0 |
0 |
| 1 |
1 |
| 2 |
2 |
| 3 |
3 |
| 4 |
4 |
| 5 |
5 |
| 6 |
6 |
| 7 |
7 |
| 8 |
|
Продолжайте писать дальше самостоятельно.
Ошибка 1. Сколько будет 8-десятичное в восьмеричной системе? Если вы поставили в соответствующую ячейку «8», то вы ошиблись.
Вспомните, что все системы счисления устроены одинаково. В десятичной системе всего десять цифр: от «0» до «9». Значит, в восьмеричной системе цифр восемь: от «0» до «7». А что же после «7» в восьмеричной системе? Смотрите, что происходит в десятичной системе, когда заканчиваются цифры? Они начинаются снова, но с уже добавленным дополнительным разрядом, в который записывается «1». То же самое и в восьмеричной системе. То есть 8-десятичное в восьмеричной системе равно 10:
|
десят
|
восьм
|
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
|
2
|
2
|
|
3
|
3
|
|
4
|
4
|
|
5
|
5
|
|
6
|
6
|
|
7
|
7
|
|
8
|
10
|
|
9
|
11
|
|
10
|
12
|
|
11
|
13
|
|
12
|
14
|
|
13
|
15
|
|
14
|
16
|
|
15
|
17
|
Разъяснение. А почему второй разряд начинается с 1? Потому что второй разряд с нулем – незначащий, и его можно не писать:
|
десят
|
восьм
|
|
00
|
00
|
|
01
|
01
|
|
02
|
02
|
|
03
|
03
|
|
04
|
04
|
|
05
|
05
|
|
06
|
06
|
|
07
|
07
|
|
08
|
10
|
|
09
|
11
|
|
10
|
12
|
|
11
|
13
|
|
12
|
14
|
|
13
|
15
|
|
14
|
16
|
|
15
|
17
|
Почему же мы его не пишем? В математических задачах, в общем случае, количество разрядов не известно. То есть, выполняя вычисления, вы обычно не можете сказать, каким разрядом вы ограничитесь, например, что не выйдете за пределы 10 000, следовательно, непонятно, сколько незначащих нулей писать перед первым разрядом. Иное дело – информатика. Там под число выделяется конкретный объем памяти, например, байт (восемь бит). Бит – минимальная ячейка информации, которая может содержать «0» или «1», то есть быть включенной или выключенной. Выход за пределы байта при, например, сложении, будет означать ошибку вычислений. Поэтому, когда речь идет о байте, вполне уместно писать числа с незначащими нулями, например, единица будет «00000001».
Продолжение хода решения. Продолжим нашу таблицу чисел до 27. Когда закончится второй круг цифр в первом разряде, начнется третий круг с цифрой «2» во втором разряде:
|
десят
|
восьм
|
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
|
2
|
2
|
|
3
|
3
|
|
4
|
4
|
|
5
|
5
|
|
6
|
6
|
|
7
|
7
|
|
8
|
10
|
|
9
|
11
|
|
10
|
12
|
|
11
|
13
|
|
12
|
14
|
|
13
|
15
|
|
14
|
16
|
|
15
|
17
|
|
16
|
20
|
|
17
|
21
|
|
18
|
22
|
|
19
|
23
|
|
20
|
24
|
|
21
|
25
|
|
22
|
26
|
|
23
|
27
|
|
24
|
30
|
|
25
|
31
|
|
26
|
32
|
|
27
|
33
|
Задача 1.1.2. Составьте таблицу десятичных чисел от 0 до 27 в шестнадцатеричной системе счисления.
Начните заполнять таблицу так же, как это было с восьмеричной системой счисления.
Введем третью колонку в таблицу, в которой напишем числа в шестнадцатеричной системе:
|
десят
|
восьм
|
шест
|
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
1
|
|
2
|
2
|
2
|
|
3
|
3
|
3
|
|
4
|
4
|
4
|
|
5
|
5
|
5
|
|
6
|
6
|
6
|
|
7
|
7
|
7
|
|
8
|
10
|
8
|
|
9
|
11
|
9
|
|
10
|
12
|
|
|
11
|
13
|
|
|
12
|
14
|
|
|
13
|
15
|
|
|
14
|
16
|
|
|
15
|
17
|
|
|
16
|
20
|
|
|
17
|
21
|
|
|
18
|
22
|
|
|
19
|
23
|
|
|
20
|
24
|
|
|
21
|
25
|
|
|
22
|
26
|
|
|
23
|
27
|
|
|
24
|
30
|
|
|
25
|
31
|
|
|
26
|
32
|
|
|
27
|
33
|
|
Ошибка 1. Если вы 10-десятичное записали как 10-шестнадцатеричное, то вы не правы.
Разъяснение. Чему же равно 10-десятичное в шестнадцатеричной системе? Очевидно, что это число обозначается в шестнадцатеричной системе одной цифрой, ведь в шестнадцатеричной системе должно быть шестнадцать цифр. Но привычные нам арабские цифры уже закончились. Поэтому дальше принято использовать большие латинские буквы:
Продолжение хода решения:
|
десят
|
восьм
|
шест
|
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
1
|
|
2
|
2
|
2
|
|
3
|
3
|
3
|
|
4
|
4
|
4
|
|
5
|
5
|
5
|
|
6
|
6
|
6
|
|
7
|
7
|
7
|
|
8
|
10
|
8
|
|
9
|
11
|
9
|
|
10
|
12
|
A
|
|
11
|
13
|
B
|
|
12
|
14
|
C
|
|
13
|
15
|
D
|
|
14
|
16
|
E
|
|
15
|
17
|
F
|
|
16
|
20
|
|
Ошибка 2. А что вы написали для числа 16? Если «G», то вы ошиблись.
Разъяснение. Вспомните, что в десятичной системе десять цифр от «0» до «9», в восмеричной системе – восемь цифр от «0» до «7», а в шестнадцатеричной должно быть шестнадцать цифр, которые начинаются «0», а это значит, что они должны заканчиваться 15-десятичным, то есть «F». А что же дальше? Новый круг от «0» до «F» но уже со вторым разрядом, равным «1».
Продолжение хода решения:
|
десят
|
восьм
|
шест
|
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
1
|
|
2
|
2
|
2
|
|
3
|
3
|
3
|
|
4
|
4
|
4
|
|
5
|
5
|
5
|
|
6
|
6
|
6
|
|
7
|
7
|
7
|
|
8
|
10
|
8
|
|
9
|
11
|
9
|
|
10
|
12
|
A
|
|
11
|
13
|
B
|
|
12
|
14
|
C
|
|
13
|
15
|
D
|
|
14
|
16
|
E
|
|
15
|
17
|
F
|
|
16
|
20
|
10
|
|
17
|
21
|
11
|
|
18
|
22
|
12
|
|
19
|
23
|
13
|
|
20
|
24
|
14
|
|
21
|
25
|
15
|
|
22
|
26
|
16
|
|
23
|
27
|
17
|
|
24
|
30
|
18
|
|
25
|
31
|
19
|
|
26
|
32
|
1A
|
|
27
|
33
|
1B
|
Задача 1.1.3. Составьте таблицу десятичных чисел от 0 до 27 в двоичной системе счисления.
Заполняйте так же, как и в задаче с восьмеричной и шестнадцатеричной системах. Помните, что мы не ограничены в количестве разрядов.
Теория. Про байт и ячейку в 1 бит, которая принимает значения «0» и «1» (два состояния – «выключено» и «включено»), я уже упомянул. А это фактически двоичная система – самая распространенная система счисления в компьютерах. Поэтому добавим в табличку еще одну колонку – двоичную систему - и начнем заполнять.
|
десят
|
восьм
|
|
шест
|
|
двоич
|
|
0
|
0
|
|
0
|
|
0
|
|
1
|
1
|
|
1
|
|
1
|
После «0» и «1» больше цифр нет, и начинается второй разряд:
|
десят
|
восьм
|
шест
|
двоич
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
2
|
2
|
2
|
10
|
|
3
|
3
|
3
|
11
|
Что же писать дальше? Получается, что у нас довольно быстро закончился и второй разряд. Значит, надо начинать третий. Чтобы не сбиться, возьмем все уже написанные нами числа, добавив там, где не хватает, незначащий «0»:
И запишем их еще раз, добавив «1» в третьем разряде:
|
десят
|
восьм
|
шест
|
двоич
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
2
|
2
|
2
|
10
|
|
3
|
3
|
3
|
11
|
|
4
|
4
|
4
|
100
|
|
5
|
5
|
5
|
101
|
|
6
|
6
|
6
|
110
|
|
7
|
7
|
7
|
111
|
Так мы дойдем до числа 7-десятичное. И опять повторим все написанные числа с добавлением 0 во втором и третьем разряде, где было пусто, и «1» в четвертом разряде:
|
десят
|
восьм
|
шест
|
двоич
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
2
|
2
|
2
|
10
|
|
3
|
3
|
3
|
11
|
|
4
|
4
|
4
|
100
|
|
5
|
5
|
5
|
101
|
|
6
|
6
|
6
|
110
|
|
7
|
7
|
7
|
111
|
|
8
|
10
|
8
|
1000
|
|
9
|
11
|
9
|
1001
|
|
10
|
12
|
A
|
1010
|
|
11
|
13
|
B
|
1011
|
|
12
|
14
|
C
|
1100
|
|
13
|
15
|
D
|
1101
|
|
14
|
16
|
E
|
1110
|
|
15
|
17
|
F
|
1111
|
Затем нам понадобится пятый разряд:
|
десят
|
восьм
|
шест
|
двоич
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
2
|
2
|
2
|
10
|
|
3
|
3
|
3
|
11
|
|
4
|
4
|
4
|
100
|
|
5
|
5
|
5
|
101
|
|
6
|
6
|
6
|
110
|
|
7
|
7
|
7
|
111
|
|
8
|
10
|
8
|
1000
|
|
9
|
11
|
9
|
1001
|
|
10
|
12
|
A
|
1010
|
|
11
|
13
|
B
|
1011
|
|
12
|
14
|
C
|
1100
|
|
13
|
15
|
D
|
1101
|
|
14
|
16
|
E
|
1110
|
|
15
|
17
|
F
|
1111
|
|
16
|
20
|
10
|
10000
|
|
17
|
21
|
11
|
10001
|
|
18
|
22
|
12
|
10010
|
|
19
|
23
|
13
|
10011
|
|
20
|
24
|
14
|
10100
|
|
21
|
25
|
15
|
10101
|
|
22
|
26
|
16
|
10110
|
|
23
|
27
|
17
|
10111
|
|
24
|
30
|
18
|
11000
|
|
25
|
31
|
19
|
11001
|
|
26
|
32
|
1A
|
11010
|
|
27
|
33
|
1B
|
11011
|
Задача 1.1.4. Составьте таблицу десятичных чисел от 0 до 27 в троичной системе счисления.
Заполняйте так же, как и в предыдущих задачах этого параграфа. Знаний полностью должно хватить. Если вы ошибаетесь, то это по невнимательности или вы не поняли циклический принцип систем счисления – числа полностью повторяются в том же порядке, что и были, но только добавляется еще один разряд, в котором цифры также меняются по циклу.
Ответ:
|
десят
|
восьм
|
шест
|
двоич
|
троич
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
2
|
2
|
2
|
10
|
2
|
|
3
|
3
|
3
|
11
|
10
|
|
4
|
4
|
4
|
100
|
11
|
|
5
|
5
|
5
|
101
|
12
|
|
6
|
6
|
6
|
110
|
20
|
|
7
|
7
|
7
|
111
|
21
|
|
8
|
10
|
8
|
1000
|
22
|
|
9
|
11
|
9
|
1001
|
100
|
|
10
|
12
|
A
|
1010
|
101
|
|
11
|
13
|
B
|
1011
|
102
|
|
12
|
14
|
C
|
1100
|
110
|
|
13
|
15
|
D
|
1101
|
111
|
|
14
|
16
|
E
|
1110
|
112
|
|
15
|
17
|
F
|
1111
|
120
|
|
16
|
20
|
10
|
10000
|
121
|
|
17
|
21
|
11
|
10001
|
122
|
|
18
|
22
|
12
|
10010
|
200
|
|
19
|
23
|
13
|
10011
|
201
|
|
20
|
24
|
14
|
10100
|
202
|
|
21
|
25
|
15
|
10101
|
210
|
|
22
|
26
|
16
|
10110
|
211
|
|
23
|
27
|
17
|
10111
|
212
|
|
24
|
30
|
18
|
11000
|
220
|
|
25
|
31
|
19
|
11001
|
221
|
|
26
|
32
|
1A
|
11010
|
222
|
|
27
|
33
|
1B
|
11011
|
1000
|
Теория. Далее я для краткости позиционные системы счисления буду называть просто системами счисления, хотя существуют и системы счисления, построенные на других принципах. Например, римские числа, которые для счета уже давно не применяются, но используются в ограниченном виде для нумерации элементов списков.
